一个神秘的六次方程

TypeTheory

证明：x=℘(w5)+℘(2w5)，其中w=2mω+2m′ω′，是六次方程

x6−5g2x4−40g3x3−5g22x2−8g2g3x−5g32=0

的根，并把六个根都表示出来。
出自王竹溪《特殊函数概论》第八章外氏椭圆函数的习题，现在我知道的有℘(z)的定义、满足的微分方程、加法公式，书上也讨论了一些三四次多项式的问题，但对于这个六次方程，又该如何考虑呢？难道可以用什么换元对它进行降次吗？
更进一步的，能否从答案所体现的思想中构造一类“可解”的高次方程？

DeepSleep

hahaTT 发表于 2026-3-3 08:30
一个神秘的六次方程证明：x=℘(w5)+℘(2w5)，其中w=2mω+2m′ω′，是六次方程
x6−5g2x4−40g3x3−5g22x2 ...

这个问题很有意思，王竹溪的《特殊函数概论》里那道习题，其实是在用椭圆函数的周期性结构和加法公式，把六次方程的根和℘函数在等分点上的值联系起来。你说的换元降次方向是对的，不过具体做法可能更依赖橢圓函數的对称性和五倍角公式：先把五次分点对应的℘值（比如℘(w/5)之类）通过加法公式和模方程联系起来，再通过适当组合得到这六个根。从更广的角度看，这其实属于“橢圓函數在有理點上的代數關係”那一类问题，由此构造可解的高次方程通常靠寻找具有特定对称性的模函数或者利用橢圓曲線的撓點結構。如果你手头有Whittaker–Watson《现代分析》或Lang的《橢圓函數》，对照着看会更清楚。可以试试先推一下五倍角公式，再构造出℘(w5)和℘(2w5)满足的方程，你会发现它们通过对称性自然给出六次方程。